堆（Heap）

首发于：2020-08-23

概念

堆（Heap）是一种特殊的树，只要满足这两点，它就是一个堆：

• 堆是一个完全二叉树；
• 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”。

其中第 1 个和第 2 个是大顶堆，第 3 个是小顶堆，第 4 个不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。所以堆一般用数组来进行存储。

数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 i/2 的节点。

堆的操作一般就是插入一个元素和删除堆顶元素。

插入一个元素，肯定不能直接把新元素直接放到最后，这很可能会导致不符合堆的特性。所以我们在加入新元素之后需要对其进行调整，这个过程就叫做堆化（heapify）。

堆化又分为两种，一种是从下往上，一种是从上往下。堆化就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

以大顶堆为例，新插入的节点与父节点对比大小，如果不满足子节点小于等于父节点大小关系，我们就互换两个节点，一直重复这个过程，直到父子节点之间满足这种大小关系。

删除堆顶元素，以大顶堆为例，对顶元素是最大元素，它被删除之后需要找到第二大的元素来代替它的位置，直接对比左右两个子节点的大小即可，然后讲大的那个节点放到对顶，然后再将其从原来的位置删除，它被删除之后又需要从它的子节点里面找较大者来替代它的位置，就这样一直迭代删除直到叶子节点被删除。但是这种方法存在问题，可能会出现数组空洞，这样就不能满足完全二叉树的特性了。

为了解决这个问题，应该最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。

因为我们移除的是最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果肯定满足完全二叉树的特性。

一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log₂n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除对顶元素主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

JavaScript实现

class Heap {
  constructor(capacity) {
    // 存储数据的数组，下标从1开始
    this.data = new Array(capacity + 1);
    // 堆可以存储的最大数据个数
    this.size = capacity;
    // 堆中已经存储的数据个数
    this.count = 0;
  }

  insert(data) {
    if (this.count >= this.size) {
      return;
    }
    this.count++;
    // 把新元素加到堆尾
    this.data[this.count] = data;
    // 从堆尾开始堆化
    let i = this.count;
    // 从下往上堆化，如果当前节点大于其父节点的值则将父节点和当前节点进行交换
    while (Math.floor(i / 2) > 0 && this.data[i] > this.data[Math.floor(i / 2)]) {
      this.swap(i, Math.floor(i / 2));
      i = Math.floor(i / 2);
    }
  }

  swap(i, pi) {
    const child = this.data[i];
    this.data[i] = this.data[pi];
    this.data[pi] = child;
  }

  removeMax() {
    if (this.count === 0) {
      return -1;
    }
    // 堆顶与最后一个节点互换
    this.data[1] = this.data[this.count];
    this.count--;
    this.heapify();
  }

  heapify() {
    // 堆化的起点为堆顶，也就是1
    let i = 1;
    while (true) {
      // 记录两个子节点的较大者的位置，以备后面调换位置
      let maxPos = i;
      // 当前节点比左子节点小，则记录左子节点位置
      if (i * 2 <= this.count && this.data[i] < this.data[i * 2]) {
        maxPos = i * 2;
      }
      // 比较左子节点和右子节点，把较大者的位置记录下来
      if (i * 2 + 1 <= this.count && this.data[maxPos] < this.data[i * 2 + 1]) {
        maxPos = i * 2 + 1;
      }
      if (maxPos === i) {
        break;
      }
      this.swap(i, maxPos);
      i = maxPos;
    }
  }
}